ペット自慢コンテストって英語でなんて言うの？

「自慢」は直訳的にboastやbragになりますが、この場合は英語でそれを言いません。cutest pet photo contestの方がよく使われています。また、ugliest, handsomest, prettiestとか使っても大丈夫です。cutestは多分一番人気だと思いますけど。
ご参考になれば幸いです。