「置く」をput、「テーブルの真ん中」をそのままcenter of the tableで
"Could you put it on the center of the table?"
で「テーブルの真ん中においてくれ」という意味になります。
また「置いといて」というニュアンスがほしい場合は質問者様が思う通りleaveをputの代わりに用いれば大丈夫です。
なお、設置が一時的でない場合（燭台やランプなど）にはplaceを使ってみると良いでしょう。
こんにちは。
put も leave も良いですが、おっしゃる通り leave だと「置いといて」のニュアンスになります。
例：
Put it on the table.
テーブルに置いて。
Could you leave it on the center of the table so the baby can't reach it?
赤ちゃんの手が届かないようにテーブルの真ん中に置いといてくれる？
ぜひ参考にしてください。
アメリカ合衆国 
