You could say a government agency( government agency も言えますし) or you could say a branch of government.( それかbranch of governmentでも言えます)
A government agencies are usually ( government agency は普通に )some kind of independent part of the government.( 政府の中の 独立したような部分です)
A branch of government( branch of governmentは) is a larger part of the government apparatus( 政府そのものの一部見たい)
ご質問ありがとうございます。
「行政、立法、司法」の関係で「政府機関」をbranch of governmentと言います。
「行政」はthe executive branchと言います。「立法」はthe legislative branchです。最後に「司法」はthe judiciary branchです。
例文:In the U.S.A., the president is the head of the executive branch (of government).
ご参考になれば幸いです。