申し訳なく思うって英語でなんて言うの？

・apologetic＝申し訳なく思う事、謝罪する事
apoligizeは「謝る」という意味です。

（例）
I feel very apologetic to my team members for making a mistake.
ミスをしてしまったことを、チームメンバーに対して申し訳なく思います。

I feel very apologetic to my wife for my attitude last night.
昨日の態度について、妻に申し訳なく思います。

・I feel sorry.=申し訳なく思う

（例）
I feel sorry that you had to go through that.
そのような経験をすることになって、申し訳なく思います。

お役に立てれば幸いです。

丁寧に言う時は、”I feel sorry for you" と言います。
意味は、「私はあなたに申し訳なく思うよ」です。

eg.
"My dog died yesterday..."
"Oh, I feel sorry for you..."

より簡単に言う場合は、単純に ”I'm sorry" でOKです。
I'm sorry を直訳すると、「ごめんなさい」となりますが、「そんなことがあったのか…残念だね」の、「残念だね」という部分に当てはまります。
誰かが亡くなった際に、「お悔やみ申し上げます」を "I'm sorry for your loss" と言い、そのI'm sorryとニュアンスは似ています。