same-dayは「当日」でshippingは「出荷」です。
でも、same-day shippingは、注文した日に出荷し、当日中に届けることです。
注文した日に出荷はするけど、届くのが次の日など、違う日の場合は、それに値する単語は無いので、フレーズを使ったりします。
例
当日中に出荷されますか？
Will it be shipped on the same day?
Be shipped → 出荷される。
ご質問ありがとうございます。
「当日[出荷](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33165/)」は英語で「shipping on the same day」や簡単に「same day shipping」と言います。
先方に注文した日に出荷してほしい場合、そうすると、「I would like to place an order with same day shipping.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。
アメリカ合衆国 
