目、しょぼしょぼしてるよ。眠いの？って英語でなんて言うの？

目がしょぼしょぼしていると言うのは eyes [are] droopy です。
droopy はしょぼしょぼと言う状態です。
状態を表す形容詞の動詞はほとんど to be となります。
そして to be droopy はしょぼしょぼしている。

続きまして、「ねむいの？」の「眠い」は sleepy です。
疑問文にすると、 Are you sleepy? と聞きます。
「眠い」も形容詞なので動詞は to be になります。

直訳からは離れますが、「あなた、とても眠そうに見えるよ」という言い方もできます。

Is it time for bed?
寝る時間かな？

Do you want to go to bed?
もう寝たい？

sleep以外にgo to bed という表現もあります。「ベッドに行く」なので、しっかり寝る夜に使われることが多いです。