the case は「シチュエーション」のことを指しています。曖昧なので、キキさんが述べた「会社のミス」の理由・キスの内容などは the case になります。
「〜にしても」を「どちら」につけたら、 whatever になります。ここで「なんでも」の意味とちょっと似ています。
だから、whatever the case は「どんなケースでも」「どんなシチュエーションでも」「何があっても」「どんな理由でも」と言ったような意味になります。
前につける in は「そう言うケースがある時」を指しています。
何か会社でミスがあった時に、どちらにしても、先方に明日謝りに行かなければならない。
We made a mistake, so whatever the case, we have to go to the other party and apologize tomorrow.
回答１～３、どれも良く使われる表現です。
それぞれのニュアンスを見てみましょう。
■in any case
どんな・いずれの場合も、とにかく、
■in either case
どちらの場合も、いずれにしても、
■anyway
とにかく、何だかんだ言っても、
こんな感じで使えるのではないでしょうか。
"In any case, we should apologize to our customer tomorrow. Let's call them and make an appointment."
「いずれにしても、我々は明日顧客に謝罪するべきだ。電話してアポをとろう。」
ご参考になれば幸いです！
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