海外で永住権をとるって英語でなんて言うの？

この obtain はget と言い換えることもできます。
そして、永住権は Permanent Residency status （PR status) ということもできます。
a landed immigrant も、直訳すると「移民」となりますが、永住権を取得した際にもこういう表現をします。
アメリカの場合ですと、I got a Green Card. で「永住権を取得した・移民になった」という意味になります。

以下「2016年に永久権を取得した」と言いたい際の例文です。

I obtained my PR status in 2016.
I became a landed immigrant in 2016.
I immigrated in 2016.
I landed in 2016.

参考までに（＾＾）

おめでとうございます! 私もニュージーランドの永住者です！

「I've become a permanent resident.」や「I got permanent residence.」 など色々な言い方がありますが、、ニュージーランドでは「permanent residence」は「PR」とよく略されます。「Have you got PR?」（永住権は持っていますか？）という感じです。

アメリカの場合は、「get a Green Card」という表現をよく使います。「Ｉ just got a Green Card!」(永住権撮ったよ！）など、映画でもよく聞く表現ですね。

「海外で永住権をとる」は、

"to become a lawful permanent resident"

という表現を使うことも出来ます。

"lawful"は、「法律上有効な」という意味です。

また、

「アメリカの永住カード」は緑色で、"green card"と言われているため、

"to become a green card holder"

と言うことも出来ます。

ご参考になれば幸いです。