おっしゃる通り、日本語では同じですが、英語では異なります。
I am studying English.
（今）英語の勉強をしている。
I have been studying English for several months.
数ヶ月前から英語の勉強をしている。（実際には●ヶ月と具体的に言う方が多いと思います）
１つめの 〜ing の方はまさに今教科書を開いて勉強しているような場合や、現在英会話学校に通っていますというような場合です。
２つめの現在完了形は、「これまで勉強してきて、今もやっています」という点に重きをおいていますので、「〜の時から」「〜は」というような時期の情報が入ることが多いです。
I have been doing a lot of work this week.
今週はたくさんの仕事をやっている。
He has been sleeping since last night.
彼は昨夜からずっと寝ている。
日本語の「〜をしている」は英語の現在形 --ing にあたります。
例えば「勉強する」は study --> studying と動詞を活用することによって「勉強している」の意味になります。
この場合、"I study" から "I am studying" と be 動詞も入ってくるので、忘れずに。
"I am studying for an exam."
「試験に向けて勉強しています」
"I have been studying English for a few months now."
「数ヶ月前から英語の勉強をしている」
"Are you driving right now?"
「今、運転している？（運転中）」
ご参考になれば幸いです。
日本 
