"Enjoy your birthday" は絶対に適切なフレーズですし、最も一般的な使い方です。辞書通りの訳「誕生日を楽しんで!」という意味になります。
ただし、より口語的な表現を使いたい場合は "Have fun on your birthday!" を使うこともできます。これは「誕生日を楽しんで!」という意味になります。
娘さんの誕生日を楽しむ場合も同じです。「Enjoy your daughter's birthday!」または「Have fun on your daughter's birthday!」となります。
関連フレーズ:
- ”Make the most of your birthday”(誕生日を最大限に楽しんで)
- ”Have a blast on your birthday”(誕生日を思いっきり楽しんで)