I was just a patient, but I was involved in a factional dispute/quarrel/rivalry in that clinic/hospital.
「病院へ行っていただけで」の部分は、「ただの患者なのに」とすればよいので、"I was just a patient."と表してみました。
スタッフ間で派閥があり、もめている状況は、要は「派閥争い」ですね。「派閥」を英語ではfactionと言います。派閥争いは"factional dispute/quarrel/rivalry"と言えばオーケーです。disputeは「論争、言い争い」、quarrelは「喧嘩」、rivalryは「競争」です。どういう争いかに応じて使い分けてみて下さい。
involveを使って表したいとのことでしたので、ここでは「私は巻き込まれた」という受け身形で表現しました。
参考になれば幸いです。