「肝に銘じる」は 心に刻んで忘れないようにするという意味なので、keep in mind や take heart を使って表現できるかなと思いますが、使い方によっては try one's best「最善を尽くす」を使っても表現できます。
例えば「同じ間違いを2度と起こさないよう肝に銘じる」と言う場合、keep in mind や take heart を使うより
I'll try my very best not to make the same mistake twice.
と言った方が自然な言い方になります。
He took his parents' advice to heart.
「彼は両親の忠告を肝に銘じた。」
この場合は 「重く受け止める・心に留める」という意味の take heart を使って言うのが良いでしょう。
advice で「忠告・助言」
ご参考になれば幸いです！
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