sympathizeは、「共感する」のほかに、「同情する」「相手の身になって考える」「支持する」のような意味もあります。
symphatyはその名詞形で「同情」「共感」などの意味があります。
似たような意味をもつ単語としては、empathyがあります。この二つの単語の違いですが、
empathyには、相手とまったく同じ気持ちや経験をして相手のことが「理解できる」「感情移入できる」というニュアンスがあります。なので、empathyの方が、sympathyよりも、もっと深く「共感する」といった感じになります。
I can't sympathize with his extremely nationalistic viewpoint.
私は彼の極端な国家主義的な考え方には共感できない。