1) I became better at ballet than before.
（前よりバレーが上手くなりました）
I became better at〜 = 〜がより上手になった
than before = 前より
2) I became a better ballerina than before.
（前よりも上達したバレリーナになりました）
こちらはバレエと言うよりかは自分がバレリーナとして上達したという言い方です。
3) I improved as a ballerina than before.
（私はバレリーナとして前よりも上達しました）
２番目と似ていますが、improved（上達した）という単語を使ってます。get better at~と意味は変わりません。as a ballerina ＝バレリーナとして。となります。
ご参考に！
I got better at ballet than before.
My ballet skills have improved compared to before.
「前よりバレエが上手くなりました」と書く場合、I got better at ballet than before. や My ballet skills have improved compared to before. と表現するのが自然です。
「〜が上手くなる」は get better at ... や improve（上達する）を使います。また、「前より」は than before や compared to before（以前と比べて）で表すことができます。
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