最初の言い方は、I’m sorry to trouble you, but ...は、[恐縮](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36739/)ですが、と言う意味として使われていました。
最初の言い方では、sorry to trouble you は、恐縮ですがと言う意味として使われています。
二つ目の言い方は、I’m sorry to ask you to do such a favor, but ...は、恐縮ですが、と言う意味として使われています。
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「[よろしくお願いします](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/24811/)」の直訳や似た表現は英語ではありません。
なので英語でメールや手紙を閉じる時、よく「〜[してくださりありがとうございました](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/3880/)。」 "Thank you for your...." 、 "I am grateful for your..." 「〜に感謝します。」または "I hope to hear from you soon." 「返事を楽しみにしています。」などと言います。状況によって感謝する内容などを変更します。
例文：
"Thank you for your cooperation." 「ご協力ありがとうございます。」
"I am grateful for your prompt response." 「早速お返事ありがとうございます。」
"I hope to hear from you soon." 「返事を楽しみにしています。」
ご参考になれば幸いです。
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