どちらも「二重線を消してください」というニュアンスになります。
1) Put two lines through it.
動詞の put にはものすごくたくさんの意味がありますが、この put は（文字や記号などをある箇所に）記入する、という意味で使えます。
put two lines through だと「二重線を引く」のようになります。
2) Cross out the mistake with two lines.
cross out は「線を引いて消す」という意味です。
cross out the mistake で「間違いを線を引いて消す」
cross out the mistake with two lines で「「間違いを二重線を引いて消す」となります。
ご参考になれば幸いです！
ご質問ありがとうございます。
「重線」はheavy lineとdark lineに訳せます。どっちでも使えます。そして、線が複数でありますので、linesになりますね。
「消す」は普通にeraseに訳されていますが、線で消すことで間違いが消えることではありあmせんので、eraseを使えません。
例文：Please cross out the mistake with two dark lines.
ご参考になれば幸いです。
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