歯と歯の間に歯ブラシの先を突っ込んで動かしましょうって英語でなんて言うの？

この場合「insert とbrush」を使っていいと思います。

他の言い方としては stick 「突っ込んで」もありますが、insert は大丈夫です。

歯と歯の間 in between each tooth
歯ブラシ toothbrush
先 the point/the tip
突っ込んで insert/stick
動かしましょう brush （この場合）

参考になれば幸いです。