take care of には「世話をする」の意味で習うことが多いですね。具体的な行動をともなうイメージがありますが、日本人の言う「気遣い」はtake care ofで表しても問題ありません。ホストファミリーは生活面から精神面までのめんどうを見てくれて、家族として受け入れてくれたわけですから、take care ofで表せます。
Thank you for taking care of me when I became sick.
(具合が悪くなった時に(風邪をひいた時に)めんどうを見てくださってありがとうございます)
You took care of me when I had a bad cold. I was really happy.
(風邪をひいたときにめんどうを見てくれました。とても嬉しかったです。)
表現はシンプルですが、感謝の気持ちは十分に伝わると思いますよ。
参考になれば幸いです。
Thank you for taking care of me when I had a cold.
Thank you for your concern when I had a cold.
Thank you for your consideration when I had a cold.
take care of は「世話をする」のようなニュアンスです。
また、「お気遣い」は英語で consideration と言うことができます。
concern は「ご心配」のようなイメージになります。
例えば Thank you for your consideration で「お気遣いありがとうございます」です。
Thank you for your concern で「ご心配ありがとうございます」と英語で言えます。