ありませんって英語でなんて言うの？

No, I don’t have (one). ＝「いいえ持っていません」
Oneはライターのことを指します。

I’m afraidを加えると、「申し訳ありませんが」と丁寧な表現になります。

I’m afraid I don’t.
「申し訳ありませんが持っていません」

Sorry, I don’t.
「ごめんなさい、持っていません」

ご参考まで

No, I don't have it.
いいえ、もっていません。

一番簡単な回答の仕方です。せっかくなので他にもいくつか書いてみます。

No, I don't have it with me.
いいえ、私は携帯していません。

with me 「自分と一緒に」という意味ですが、これで「持ち物として持ってない」と表現できます。

No. Sorry.
いや。ごめんね。

実際に謝っているというより「残念だったね」というニュアンスです。
I feel sorry for him. 彼に同情するよ/申し訳ないなと思うよ。