回答
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No way to splitting the bill!
質問の文章からはこれが近いと思います。
No way=あり得ない
Split the bill=お勘定を分ける=割り勘
No way to splitting the bill!
割り勘に対してはあり得ない!=割り勘はあり得ない!
回答
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"I can't possibly go Dutch."
「割り勘」を英語で表す短いフレーズは "go Dutch" となります。ここで、「~とかありえない」を直訳的に表現するのは難しいので、「I can't possibly do ~」という形(〜を絶対にできない)を使用しています。
"can't possibly" は、「まったく~することができない」「絶対に~しない」といった強い否定の意味を持っていますので、この文脈では"ありえない"のニュアンスに近いと考えられます。
まとめると、"I can't possibly go Dutch." は「割り勘だなんて、とても受け入れられない(絶対にできない)」という意味になります。