交流を深めるって英語でなんて言うの？

交流とは「engagement」と一般的に言います。

例：
Engage the customer (顧客と交流を深める）

などあります。

このため、交流を深めるとは「①　Deepen engagement」で通じます。

例えば：
I want to run a few team-building camps to deepen engagement between employees.

ジュリアン

従業員同士の交流を深めるための催しというニュアンスでよく使われるのが、
team-buildingです。
チーム（仲間同士）の絆を構築するという意味ですね。
team-building activitiesで、交流を深めるためのイベントを指します。
たとえば、みんなでカラオケに行ったりボーリングしたりとか、ビーチバレーをしたり、運動会のようなものをしたり。
旅行であれば、campがしっくりくると思うので上記の例文にしました。