「〜に行きはじめた」は started to go to 〜、 started to attend 〜 ですが、幼稚園に通いはじめたということなので、単純に started kindergarten でも大丈夫ですし、started going to kindergarten でも started attending という言い方でも大丈夫です。
今年の4月から次男も幼稚園に行きはじめたので、仕事を再開しました。
My second son started to attend kindergarten in April this year, so I went back to work.
My second son started kindergarten in April this year, so I started working again.
ご質問ありがとうございます。
「行きはじめた」は英語で「started to go to」や「began to go to」と言います。
また、「今年の4月から次男も[幼稚園](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32001/)に行きはじめたので、仕事を再開しました」という文書を英訳すると「My second child started to go to kindergarten this year so I also went back to work.」になります。
ご参考になれば幸いです。
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