say something with absolute certaintyは、「絶対的な[確信を持って](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/63427/)（なにかを）言う」といった意味です。
absoluteは、「絶対的な」「完全な」などを意味する形容詞です。
certaintyは、「[確実](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34761/)」を意味する名詞です。
"I will never let you down", he said with absolute certainty.
「僕はあなたを決して失望させない」と彼は断言した。
claimは、「主張する」「言い張る」などの意味をもち、「事実としてなにかを強く言う」といったニュアンスが強いです。
She claimed that her success was due purely to luck.
彼女は、自分の成功が完全に運によるものだと主張した。
"assert"は「（自分の[意見](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51053/))を[主張する](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/62762/)」で、"say"を使う場合は後ろに"definitely"や"clearly"と言った副詞をつけていく必要があります。またカジュアルな会話では"swear"も使用可能です。
以下でまずは上の単語を使って、例文を紹介します。
例）The scientist asserts (that) the intractable disease can actually be treated by some special medication.
(その科学者は、あの不治の病は実はある特殊な治療法を用いれば、治すことは可能だと主張している)
I (can) swear that they are gonna break up sooner or later.
(彼ら遅かれ少なかれ別れるって断言できるわ）
そして以下の＋αの例文は「断言できない」と否定的な時に使える便利でカジュアルなフレーズです。
例）I can't tell you yet. (まだ断言できないな、わからないな）
I am not positive about that. (そうだとははっきり断言できない)
I can definitely say that ...
〜と確実に言うことができます（断言できます）
I can say with absolute certainty that ...
〜と絶対的な確信を持って言えます（断言できます）
上記のように英語で表現することもできます。
definitely は「確実に」という意味の英語表現です。
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