子供が大きくなった、というのは grown で表せます。
She's/He's grown. というように。
自分でなんでもできる、という形容詞が self-sufficient です。
sufficientは「十分足りる」という意味で、自分自身で十分こと足りる、つまり、
他人の手を借りずとも自分でなんでもできる、という意味になります。
ほかに、
She/He can take care of herself/himself.
娘(息子)は自分のことは自分でできます。
という言い方もありますね。