続けていきますって英語でなんて言うの？

「続けていきます」は 「続けていきましょう」と同じ表現で大丈夫です。 ですので、 Let's continue. あるいは We'll continue. で伝わりますね。

「Let's move on.」 「Moving on...」 などもよく耳にします。 あと、質問形式で 「Shall we move on?」 「Shall we continue?」 「Let's move forward, shall we?」 「Ready to continue?」 という言い方も可能です。 状況や気分に応じて色々試してみてください。

次にいきましょう、進めましょう、という意味でmove onを使います。 このままずっと進めていきましょう、と言いたい場合は Let's keep moving on.としても良いですね。

「続いて～します」は【move onto】や【go onto】で言います。