飼育放棄って英語でなんて言うの？

育児放棄する、捨てる、という意味の動詞はabandonです。
捨てられたペットは abandoned petとなります。

I hate to see abandoned pets. That just makes me cry.
捨てられたペットを見るのは辛い。泣きそうになります。

It's so sad to see so many abandoned pets out there.
飼育放棄されたペットたちがあまりにたくさんいて悲しいです。

I hate to see...で「～は見たくない」という意味になります。
直訳は「～を見るのが嫌だ」ですが、見るに忍びない、我慢できないというニュアンスです。

関連して、動物の収容所、日本で言う保健所のことをshelter/poundと言います。

Abandoned pets are brought into a pound.
飼育億放棄されたペットは保健所に連れてかれる。
Some pounds euthanize any animal that is not claimed quickly.
飼い主がすぐに見つからない動物を安楽死させる保健所もある。