ご質問ありがとうございます。
文法：
A を B にする = make A B
the other person = 相手
grown-up = 大人
mature = （マナーのこと）大人らしい、大人っぽい
両方の言い方で、"look" を含めば、「相手を大人に見えるようにする」という意味になります。
プレゼントは相手が喜ぶ物であることはもちろん、相手を少し大人にする物が良い
Of course, a present should be something that the other person is happy with, but something that makes the other person (look) a little more grown-up is nice too.
アメリカ合衆国 
