永別するって英語でなんて言うの？

「永別する」は英語で "Final farewell"という言い方になります。
final = 最後の、最終的な
farewell =お別れ、さようなら

"Last farewell" も "final farewell" とまったく同じ意味です。

「永遠のさようなら」といったニュアンスで "Good-bye forever"という言い方もあります。
good-bye = さようなら
forever = 永遠の

"Having to have to say a final farewell to them at some point is the only downside of having a dog." =「いつか最後の別れを言わなければいけない（永別をしなければいけない）のが犬を飼う唯一の欠点である。」

デメリットは英語で "demerit"ですが、あまりこういった場面で普段使いされる言葉ではない気がするので "downside"＝「欠点」という言葉にしました。