英語と日本語を日替わりで話しませんか？って英語でなんて言うの？

ーMaybe we could speak English one day and Japanese the next day.
「1日は英語を話して、次の日は日本語を話すのはどうですか？」
「英語と日本語を日替わりで話す」は speak English one day and Japanese the next day と言えます。

ーWhy don't we alternate days speaking Japanese and English?
「日本語を英語を話す日を交互で行いませんか？」
alternate で「交互に行う」という意味なので、「英語と日本語を日替わりで話す」は alternate days speaking Japanese and English とも言えます。

ご参考まで！

これが直訳と違いますが、伝えたいことを表現できると思います。

「日替わり」という部分は on one day, and ~ on the other で言うことができます。

「話しませんか」は why don't we speak か how about we speak にすればいいと思います。

参考になれば幸いです。