Please proceed to the next window while still holding your tray.
Please move along while still holding your tray.
「○○をしたまま」は「while still doing ○○」で表現できあす。
動詞はing形で使います。
例:
「靴が履いたまま中に入った」→ Go inside while still wearing shoes.
「トレーを持ったまま移動する」→ Move while still holding the tray.
「進む」は英語で proceed で表しますが、
今回はもっと丁寧な言い方「お進みください」で言いたいので please proceed を言ったほうがいい。
全部まとめて:
「トレーを持ったまま次の番号へお進みください」
→ Please proceed to the next window while still holding your tray.
「トレーを持ったまま移動してください」
→ Please move while still holding your tray.
ご参考になれば幸いです。