もし少しでも参考としてお役にたてるならば、私もグラホバック林京子さんのアドバイスに一票、完全に支持していることだけでもコメントさせていただきますね～！
現在でも私の古い友人らの何人かが米国で[柔道](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/65905/)や[空手](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42072/)をやっていますが、実際のところ、皆日本語の〝段” や 〝級” をそのまま使っているようですね。
これらの表現をあえて英訳して使っていないことには、言語学の基本となるたくさんの意味もあると思います。それは英語の単語に変換してしまうならば、その同じ単語を使った他の行事やイベント、対象としたものと何が違うの？という疑問が生じてしまい、あえて英語にはない、日本語のまま使うことで、例えば英語の人が理解する ”level” や〝degree” という単語とは違った仕組み、進み方、使い方がそこにある、というニュアンスも同時に伝えられるということになります。
あえて、"What is Dan” とか聞かれた時はもちろん、これらの英訳の単語で表現するしかないもの、そこで使う正式な表現としては必ずしも全て訳す必要はなくて、そのまま使うことに意義がある場合もあるということですね。
同時に、「上達につれて、段が増えていく一方で、級は数が小さくなる」というのを説明するならば、それこそまずは皆が理解している〝level” と同じではないので、より説明しやすく、相手にとっても受け入れやすくなると思います。
実際の説明の仕方の一つの例を挙げるとするならば：
「 The higher the level is, the lower in number a〝Dan” is.」
【上達すればするほど、段というのはそこに付く数字が低いんだよ】
「 The higher the level, the higher the "Dan" is, but it's just the opposite for the "Kyu"」
【段が高ければ高いほど段は高くなるけど、級はそのまた逆なんだよ」
などですね。
ご参考になればと思います♪
私自身、日本で[柔道](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/65905/)黒帯、カナダで[空手](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42072/)黒帯を習得しましたが、武道においては日本と海外で「級」の意識が少し異なります。 海外ではスポーツの意味合いが強く、日本では鍛錬・修行の意味合いが強くなります。 ただ、日本でも子供向けには進級さす＝モチベーションを高めるという意味合いから、空手や柔道にはcolor belt（黄帯～茶帯）というのが存在します。 黄帯～茶帯までの段階は流派によっても変わったりします。 一番最初の白帯（入門者）はcolor beltの中には入りません。 color beltは、あくまでも基礎習得中の段階です。 また、日本における大人の武道には白帯か黒帯しかありません。 でも、海外では大人もモチベーションを上げるためにcolor beltが存在します。 考え方や意識の違いですね。
空手道において、例えば２級（2 kyu）というのは存在しても一般会話では出てきません。 なぜかというと、前述した「色」でコミュニケーションをとるからです。
A: What belt are you holding?
B: I'm (holding) (a) blue (belt).
というような会話です。 何級かは覚えていない事が多いです。
The levels are divided into Kyu and Dan. The Kyu levels progress from 10 to 1, where 1 being the highest.
上達につれて級は数が小さくなるという説明は以上で出来ると思います。
The dan levels work up to 10, and the levels count from 1.
上達につれて段が増えていく説明は以上で出来ます。
数字の部分（例：１０級）は、何級から始まるかによって異なりますし、段も何段まであるかによって数字を適宜に変更してくださいね。
また、書道の場合は級と段の説明は同じように出来ますが、システムが違いますので当てはまらないケースも出てきます。 例えば、習字でいう４段の教授という名称は柔道や空手ではありません。師範も何段からかによって変わってきたりします。
ですので、ご質問の「柔道や剣道、書道の「段」「級」について 英語でなんていうのですか？ 」という回答として、級や段の説明は前述させて頂いた表現で出来ますが、細かく説明したい際には、システムが異なりますので、それが柔道なのか剣道なのか空手なのか書道なのかによって英語での表現の仕方（説明の仕方）も異なるという答えになるかと思います。
ご質問ありがとうございます。
「段」に関しては degree を使うことができると思います。
私はアメリカでテコンドーをしていましたが、second degree black belt（黒帯2段）でした。
second degree が「2段」の意味です。
次のような言い回しで使うことができますよ。
・He is a second degree black belt.
彼は黒帯2段です。
お役に立てれば嬉しく思います。
日本 
アメリカ合衆国 
