(自分の)業務を効率化して、なるべく残業をしないようにします。って英語でなんて言うの？

こちらは自然な言い方です：

「①　I'll work more efficiently and try to go home on time.」ー（業務を効率的に進め、時間通り帰宅するようにします）

日本特有の残業文化があるので、西洋だと残業代は基本的に支給されるので（ブラック企業はそんなにありませんよ！）、あまり Overtime は言わない方がいいかもしれませんね。相手にとっては「この人は業務を効率的に進めていないからプラスのお金払わなければいけないのか。」と思われるかもしれません。

ジュリアン

「効率」は名詞がefficiency、形容詞がefficient、副詞がefficiently。そのそれぞれを使って文を作ってみました。
「業務を効率化して」は「業務効率を改善して」と考えると一番目の文になります。
「残業する」はwork overtime、do overtime、do overtime workなど。

I will improve on my work ethics and try not to work during after hours. －私は自分の業務内容を良くして残業を避けます。I will improve - 自分をよくする。 work ethics - 業務姿勢・マナー。after hours - 残業

I will put my effort on my work ethics and try not to work during after hours. 自分は業務姿勢に力を入れ残業を避けます。put my effort - 自分の努力を．．．I put my effort in to accomplish this.　これを成し遂げるため自分の努力を注ぎました。