こちらは気にせず寝てくださいねって英語でなんて言うの？

こちらは気にしないでと言いたい場合は don't worry about meと言う
表現が使えます。
お構いなくと言う意味で後者の don't mind me と言うのも可能です。

寝て下さいは please go to sleep です。
幼い子供に伝える感じとしても使えます。
睡眠をとって下さいで please get some sleep と言っても良いでしょう。

おっしゃられている内容は以下のようにも表現できると思いました(^_^)
You can sleep if you are sleepy. Don't worry about me.
「眠たければ寝て良いですよ。私のことは心配しないで」
You can sleep whenever you want. Don't worry about me.
「寝たい時はいつだって寝て良いですよ。私のことは心配しないで」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師　KOGACHI

Don't worry about me. You can go ahead and sleep.
Don't mind me. You can go ahead and sleep.
こちらは気にせず寝てくださいね。

don't worry about me / don't mind me で「私のことは気にしないで」と英語で言うことができます。