英語だともっと明確に言わないといけません。明確に言わないと「何の大会？？」の疑問が浮かぶと思います。
２月１５日の水泳大会で勝ちたい - I really want to win the swimming meet on February 15th もしくは I really want to come first in the swimming meet on February 15th.
野球大会 – baseball tournament
「大会」は英語で tournament、competition , event と言います。
8月2日の競走に勝ちたい – I want to win the race on the 8th of February/ February 8th.
want はシンプルに欲求を伝えていますが、need だと「私は〜する必要がある」「私には〜が必要だ」というような意味になります。若干ニュアンスが違いますが「勝ちたい」に変わりないと思います。
特に競技種目など言わないということであれば、competition であれば、大体当てはまるでしょう。「●月●日の試合」というような時は game や matchを使うこともできますが、game や matchは 一対一の勝負の方が多いです。competitionは具体的には「競争」という意味で、多くの人が一気に戦うイメージです。トーナメント戦などは tournament でもいいと思います。
また、これは相手もどんな大会か大体わかっているという前提で話しているため the ですが、初めて話すような場合は a にする方が正しいと思います。
I need to win the competition on April 2nd.
４月２日に行われるその大会に勝つ必要があるんだ。
I need to win a tournament on April 2nd.
４月２日に行われるトーナメントに勝つ必要があるんだ。
イギリス 
日本 
