I had to keep knocking back the sakes last night because people kept refilling my cup.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI had to keep knocking back the sakes last night because people kept refilling my cup.
「昨夜お酒を何杯も注がれたので、大酒を飲まなければいけなかった」
to knock back the sakes「酒をたらふく飲む・大酒を飲む」
to keep refilling one's cup で「おちょこに注ぎ続ける」=「何杯も注ぐ」
ご参考まで!