遠回りになるので別々のタクシーで帰りたいんです、って英語でなんて言うの？

遠回りは the long way around と言います。detour という言い方もあります。

I don't want to take the long way around. I'd like to take a taxi on my own.
遠回りはしたくないです。私は私でタクシーに乗りたいと思います。

状況的に考えると
I'll take the other taxi. That'll be faster.
私は別のタクシーに乗るよ。そっちの方が早いだろうから。

という方が自然で簡単かもしれません。

quicker にするのか faster にするかは意見が分かれるところではあります。quicker （より短時間で帰れる）、faster（移動速度がより速い）

ちなみにearlierは（到着時間がより早い） を使いたかったら Then I can go home earlier.「そしたら家に早く帰れるから」と変える必要があります。

遠回りは long way round と言いますが round を省いて long way と
言うのも有です。
遠く回るというよりは遠い道のりになると言った感じです。

別々と言いたい場合は separate って単語を使うのがおすすめです。
別々に帰りたいですと言いたい場合は I'd like to go home separately
などの表現が使えます。