動かして見せるって英語でなんて言うの？

動かして見せると言う意味を単語一つにまとめた英語はないと
思いますので動かすと見せるの単語が別々になります。

どういう仕組みなのか見せると言う場合は give a demonstration
という表現を使うのが良いかもしれません。

「おじいさんが川でそのボートを動かして見せてくれました」
"The old guy moved the boat and showed it to us"
もしくは
"The old guy gave us a demonstration of the boat moving" など

公の場で見せる、披露するとなればdemonstrate という単語が思い浮かびます。
He demonstrated how to operate remotely the boat he had made it on the river.
離れた遠隔操作をイメージするためremotelyと使い、彼が作ったボートを以前作ったと一つ前の大過去で表現しています。
彼は作ったボートが川でどのように操縦し動くか見せた。
Demonstrate に代わりシンプルにshowでも十分です。