enjoy yourselfもhave a /good/ fun nice timeも根本は「楽しんでおいでね、楽しい時間を過ごしてね。」という親が子供にかける一般的な表現です。enjoy yourselfは「(自分が)楽しんでくるんだよ、(ほかの人のために行くんじゃないよ)」的な意味合いもあります。
私自身はよく子供たちにHave a lovely day/ Enjoy (youself)!/ I see you later. ( and love you!)と声掛けして送り出します。 参考になれば幸いです。