実はこういう時でvendorを使いません。Vendorは物を売ってる会社ですね。
健康診断の予約の会社は英語の言葉がないけれどちょっと説明したいと思います。
健康診断 - health check
予約 - reservation, book
代行 - can help, service
会社 - company
全部まとめたら
We (会社) are a company that helps book health checks
We are a company that reserves health checks