実はこういう時でvendorを使いません。Vendorは物を売ってる会社ですね。
健康診断の予約の会社は英語の言葉がないけれどちょっと説明したいと思います。
健康診断 - health check
予約 - reservation, book
代行 - can help, service
会社 - company
全部まとめたら
We (会社) are a company that helps book health checks
We are a company that reserves health checks
"We are a health checkup booking agency."
「私たちは健康診断の予約代行会社(代理店)です」
booking agency(予約代理店・代行会社)という表現を使うことで伝えることができます。
"We are a medical checkup coordination service vendor."
「私たちは健康診断(医療診断)の調整サービスを提供するベンダー(業者)です」という意味の表現です。