だから早く終わらせて帰りたいって英語でなんて言うの？

Let me finishは日本語で言うと「終わらせて」という意味です。

「let me +動詞の原形」は日本語で「～させて」という意味で、良く使う文法です。
例えば、Let me go.は日本語で「行かせて」になります。

~so we can go home.は日本語で表すと「私達は帰るために～」になります。
こちらのsoは「～の為に」という意味になります。

I have many things to do todayは日本語で言うと、
「今日はやることがたくさんある」という意味で、
次の部分の so も「～の為に」という意味になりますので、
合わせてI have many things to do today, so let me finish so we can go home.は
「今日はやることがたくさんある為、私達は帰れるように買い物を終わらせて」になります。

I have a lot to do, let's get our shopping done and go home.
やることがたくさんあるよ、さっさと買い物を終わらせて帰りましょう。

上記のように英語で表現することもできます。

have a lot to do で「やることがたくさんある」と伝えることができます。
go home が「家に帰る」ですね。

お役に立てればうれしいです。