答え1は直訳と近い訳になります。
答え2は直訳とすこし違いますが、伝えたいことを表現できる言葉です。
why don't you believe me は(なぜ信じてないの)ということになり、「どうして疑うの」と相当する意味です。
例文 I'm telling the truth. Why do you doubt me?
「真実のことを言ってるよ。なんで疑うの?」
参考になれば幸いです。
「嘘じゃないよ!」と英語でいうには "It's not a joke!" というフレーズが使えます。直訳すると 「冗談で言っていないよ!」となります。相手が笑って聞いてくれていない場合に使えばいいでしょう。
例文:
It's not a joke, believe me! 「嘘じゃないよ、信じて!」
It's not a joke, I really saw an alien! 「嘘じゃないよ、本当に宇宙人を見たんだよ!」
ご参考になれば幸いです。