どんどん進めたいって英語でなんて言うの？

どんどん続けたいという表現として"keep on going"が一番適しているかと思います。 教師の方に「一緒にどんどん進めたい」ことを伝えたい場合は"Lets keep on going"でいいですし、自分の意思表示だけしたい場合は"I would like to keep on going with me practicing"であれば自分が練習する役で進めたいことを伝えられます。 海外旅行までぜひ頑張ってください！

to move quickly through the text は「どんどん・いいペースでテキストを進みたい」です。 more quickly は「普通のペースよりもっと早く」で、「どんどん」のリズムを感じる表現です。

二つの方法に翻訳できると思います。 この場面で「１」は一番適切だと思います。 さらっと読む、という意味ですね。 「２」番目は、いい感じで進むという意味になります。いいペースで読むとかという意味ですすよ。