どちら側から見るによって違います。
例えば二人が話している：Alice と Bob と呼びます。Alice が先に話します。Alice が終わったら Bob の出番です。
（１）
Alice: I will now hand over to Bob.
Alice hands over to Bob.
（２）
Bob: I'll take over from Alice.
Bob takes over from Alice.
どちらでも日本語で「引き継ぎる」と言います。英語では終わった人に注目なら "hand over" で 次の人に注目なら "take over" です。
ちなみに "to give a hand to someone" は同じ時で使うかもしれませんが意味は違います。
誰かに 手伝う か 拍手をする と言う意味です。
（１）
Alice: Bob, could you give me a hand?
Bob, 手伝ってくれませんか？
（２）
Bob: Let's give a (big) hand to Alice!
Alice に （大きい）拍手をお願いします。
「次の話者に引き継ぎます」
"hand it over" は「引き継ぐ」や「渡す」という意味で、"the next speaker" は「次の話者」を指します。
関連する単語やフレーズ:
- "pass the baton"（バトンを渡す）
- "turn it over"（次に回す）
- "next in line"（次に話す人）
例えば、"Now, I'll hand it over to the next speaker, Mr. Smith."（それでは、次の話者であるスミスさんに引き継ぎます）のように使います。
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