年度変わりの時期なので忙しいって英語でなんて言うの？

この場合の「年度」は英語でfiscal yearと言います。そして、「年度変わりの時期」はつまり「今年度の終わりが近づいている時期」なので、英語ではシンプルにthe end of the fiscal yearと表現できます。よって、「年度変わりの時期なので忙しい」はIt's the end of the fiscal year, so things are busy.あるいはアレンジしてThings are busy since it's the end of the fiscal year.と言います。
（なお、「忙しい」はI'm busyと表現しても問題はないのですが、「会社が忙しい」「仕事では忙しい」と、個人的に忙しいだけではなく仕事全体が忙しいときはThings are busyと表現する方が一般的です。

例文
Things have been busy at work lately.
最近仕事が忙しい。

Things are busy at the office today since we have a big event tomorrow.
明日大きなイベントがあるので今日は会社が忙しい。