日本語の「バイトで忙しくて」が英語で「busy with work」か「busy at work」といいます。
例文 (Example sentences):
バイトで忙しくて、あまり本を読むのができなかった ー I have been so busy with work, I’ve hardly had time to read at all
バイトで忙しくて、あまり彼氏と会えなかった ー I’ve been busy at work, I’ve not been able to see my boyfriend much
参考になれば嬉しいです。