「体を動かすと気分が良くなります」は英語で「Being active makes me feel better.」と言います。「I feel better when I move my body.」は少し直訳した感があって別に問題はないと思いますが最初の文章がもっと自然と感じています。「being active」は「体を動かす健康的な運動」というニュアンスです。
体を動かすと気分が良くなるからスポーツが好きです。
I like sports since being active makes me feel better.
exercise＝「運動」
make人～＝「人を～にする」
Exercise makes you feel good
「運動はあなたを気持ちよくさせる（＝気分が良くなる）」
他に似たような表現を加筆してみました
improve＝「向上させる」
mental health＝「心の健康」
Excise improves your mental health.
「運動は心の健康を向上させます」
この場合のyouとは「あなた」のみならず、「（一般的に）人々」という意味です。
ご参考まで
カナダ 
日本 
