「[ガチャ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/4906/)」とは海外で、特にスマホゲーム世界で、どんどん知られるようになっています。最近英語でも "gacha"/"gatcha", "gacha games" と言う人もいますなので ガチャは "gatcha" でいいと思います。
ガチャポンに似ているものはゲームであれば、"turn the handle" 「取っ手を[回す](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/66603/)」、"turn the gatcha"、"spin the gatcha" と言えます。"spin" のほうは "turn" より軽いか速い動きになります。
例:
It's time to turn the gatcha.
ガチャを回す時がきた。
他のガチャシステムで(例えばボックスから引く) "draw" か "pull" を使われています。この際どちらでも「[引く](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/53134/)」と言う意味でニュアンスはあまり違いません。"draw from box/pull from box" と言えます。
カードを引くなら "draw" のほうがいいです。"draw a card" と言えます。