ーMy dog often pesters me to get under the blanket.
「うちの犬はよく毛布の中に入れてとせがむ。」
pester someone to ... で「人に…するようせがむ」です。
get under the blanket で「毛布の中に入る」
ーMy dog always begs to get in bed with me.
「うちの犬はいつも私の布団の中に入れとせがむ。」
beg to ... で「…すようせがむ」
get in bed with me で「私と一緒に布団に入る」
ご参考まで!