ご質問ありがとうございます。
「育児疲れ」は英語で「Exhausted with parenting」でいいかなと思います。
「Babylag」見たいな言葉はないと思いますので、「Tired」より「Exhausted」の方がその育児の疲れをもっと伝わるかなと思います。「Parenting」は「子育て」という意味で、何歳の子供でも使えます。
「I am so exhausted with parenting!」とかを言えます。
役に立てば幸いです。
育児疲れのことを「Parental burnout」と言います。「Parent」は「親」という意味で、「burnout」は「燃え尽きる」という意味です。両方を組み合わせることで「育児による疲れ」を表現します。
・Parental burnout 育児疲れ、育児による燃え尽き症候群
「もう育児疲れだよー」とぼやく感じで使う場合、こんな表現も役立ちます。
I'm so worn out from parenting.
Parenting is so exhausting.
アメリカ合衆国 
